Отношения между элементами и множествами

Элементы и множества. Задание множеств. Операции над множествами. Свойства операций над множествами. Отношения. Свойства отношений.

Методические указания по теме 2.1:

Элементы и множества:

Множество представляет собой соединение, совокупность, собрание некоторых предметов, объединенных по какому-либо признаку. Например, множество учащихся класса, множество букв алфавита, множество цифр десятичной нумерации, множество чисел первого десятка, множество натуральных чисел, множество точек на прямой, множество книг на полке и т. д.

Предметы, из которых состоит множество, называются его элементами (например, буква «к»- элемент множество букв русского алфавита).

Элементы множества обозначают малыми буквами латинского или греческого алфавита. Для обозначения множеств используют заглавные буквы латинского алфавита или запись со скобками. Например, А, В или {a; b; g}.

Запись a Î А означает, что элемент a принадлежит множеству А. Запись aÏ А означает, что элемент a не принадлежит множеству А. Например, если N- множество натуральных чисел, то 2 Î N, 0 Ï N.

Задание множеств:

Множество считается заданным (известным), если или перечислены все его элементы, или указано такое свойство его элементов, которое позволяет судить о том, принадлежит данный элемент множеству или нет.

Так, например, говоря о множестве М всех четных чисел, мы указываем свойство его элементов:каждое число, принадлежащее этому множеству, делится нацело на два. Это записывается так:

М= {c Î N | c 2}.

Здесь фигурные скобки указывают на наличие множества; знак | (вертикальная палочка) заменяет слова «таких, что» (или «такие, что»); знак « » читается как «делится нацело»; о знаке Î сказано ранее; буквой N обозначено множество натуральных чисел.

Буквальное чтение этой записи таково: «Множество М - это множество натуральных чисел c таких, что каждое из них делится нацело на 2». Можно прочитать и короче: «М - множество натуральных чисел, делящихся на 2», или «М - множество четных натуральных чисел».

Операции над множествами:

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными (одинаковыми). Если множества А и B равны, то пишут А=B.

Если любой элемент множества B является и элементом множества А, то множество В называется подмножеством (частью) множества А. В том случае говорят, что В содержится в А или А содержит В, и пишут ВÌА или АÌ В.

В силу этого определения любое множество является своим подмножеством.

Для удобства рассматривают и множество, которое не содержит ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается символом Æ.

По определению, пустое множество является подмножеством любого множества.

Таким образом, у любого множества А всегда имеются два очевидных подмножества А и Æ.

Пример 1. Найти все подмножества множества

А={1; 2; 3}.

Подмножествами данного множества являются множества

{1}, {2}, {3}, {1;2}, {1;3}, {2;3}, {1;2;3}, Æ.

Других подмножеств множество А не имеет.

Рассмотрим множество натуральных чисел, кратных числу 2, и множество натуральных чисел, кратных числу 3. Нетрудно заметить, что множество чисел, кратных числу 6, состоит из элементов, которые входят в каждое из двух рассмотренных множеств.

Множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств А и В, называется пересечением множеств А и В, и обозначается А В ( - знак пересечения).

На рис. 1 изображены множества А и В и их пересечение.

Для точечных множеств (например, геометрических фигур) смысл термина «пересечение множеств» соответствует привычному для нас смыслу термина «пересечение фигур» Так, например, если прямая имеет две точки пересечения с некоторой окружностью, то множество, являющееся пересечением множеств точек окружности и прямой, состоит из двух элементов (точек). Пересечение множеств точек отрезков АВ и СD (рис. 2) есть отрезок СВ.

       
 
   
 


Рис. 1 Рис. 2

Два множества, пересечения которых является пустым множеством, называются пересекающимися множествами.

Объединением множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех элементов множеств А и В и только из них. В этом случае пишут С=А В ( -знак объединения).

Например, объединением отрезков АВ и СD является отрезок АD(см. рис. 2),

{1; 2; 3} {4;5}= {1;2;3;4;5}.

Если множества А и В имеют общие элементы (т.е. А В ¹Æ), то каждый из этих общих элементов берется в множестве С только один раз.

Пример 2. Найти объединение множеств:

{1;2;3} {3;4}={1;2;3;4}.

Пусть даны два множества А и В. Множество С, которое состоит из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называется разностью множеств А и В и обозначается А/В (рис. 3).

Пример 3. Если А={1;2;3;4}, В={1;2}, то А/В={3;4};

Если А= {1;2;3}, В={3;4;5;6}, то А/В ={1;2};

Если А={1;2;5}, В={3;4}, то А/В={1;2;5};

Если А={1;2}, В={1;2;3}, то А/В

Если АÌВ, то разность А/В называется дополнением множества В до множества А (рис.4).

Отметим, что результат операции «дополнение» существенно зависит от того множества, до которого «дополняется» данное множество. Например, дополнением множества целых чисел до множества всех рациональных

       
 
   

С=А/В Рис. 4

Рис. 3 чисел является множество всех дробных чисел; если же рассматривать дополнение множества целых чисел, то дополнением этого множества будет множество всех дробных и всех иррациональных чисел.

Свойства операций над множествами:

Операции над множествами обладают и рядом свойств, аналогичных свойствам сложения и умножения чисел.

1) Переместительные законы пересечения и объединения (коммутативность):

А В = В А А В = В А

2) Сочетательные законы пересечения и объединения (ассоциативность):

В) С = А С) (А В) С = А С)

3) элементами А А = А А А = А

4) А = А = А

5) А U = A A U = U

6) Распределительные законы (дистрибутивность):

В) С = (А С) С) (А В) С = (А С) С)

7) Законы включения:

А С) В) С) (А В) (А С) А С)

Вычитание и дополнение также обладает рядом свойств:

8) А' А = А' А = U

9) В)' = А' В' В)' = А' В'

10) '= U U ' =

11) (A B) C = A (B C) (A B) C = (A С) В

12) (AB) B = A B (AB) С = (A B)(В С)

13) А(В С) = (АВ) (АС) А(В С) = (АВ) (АС)

Отношения. Свойства отношений:

Когда говорят о родстве двух человек, Маша и Саша, то подразумевают, что есть некая семья, к членам которой они относятся. Упорядоченная пара (Маша, Саша) отличается от других упорядоченных пар людей тем, что между Машей и Сашей есть некое родство (кузина, отец, и т. д.). В математике среди всех упоря­доченных пар декартового произведения А´В двух множеств А и В тоже выделяются некоторые пары в связи с тем, что между их компонентами есть некоторые «родственные» отношения, которых нет у других. В качестве примера рассмотрим множество S студентов какого-нибудь техникума и множество D изучаемых там дисциплин. В декартовом произведении S´D можно выделить большое подмножество упорядоченных пар (s, d),обладающих свойством: студент s изучает дисциплину d. Построенное подмножество отражает отношение «изучает», естественно возникающее между множествами студентов и дисциплин. Для строгого математического описания любых связей между элементами двух множеств вводится понятие бинарного отноше­ния, которое часто появляется как в ма­тематике, так и в информатике. Отношения между элементами не­скольких множеств (n-арные отношения) применяются для описания простой системы управления базами данных.

Отношением (бинарным отношением, двуместным отношением) из множества A в множество Bназывается некоторое подмножество декартового произведения АВ.

Свойства отношений: 1) рефлексивность;

2)симметричность;

3)транзитивность.

4)связанность.

Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой: хRх. Отношение R на множестве Х называется антирефлексивным, если для любого элемента из множества Х всегда ложно хRх: .

Отношение R на множестве Х называется симметричным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении с элементом y, следует, что и элемент y находится в отношении R с элементом х: xRy yRx.

Отношение R называют антисимметричным, если для любых элементов х и y из истинности xRy следует ложность yRx: : xRy yRx.

Отношение R на множестве Х называют транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом y, а элемент y находится в отношении R с элементом z, следует, что элемент х находится в отношении R с элементом z: xRy и yRz xRz.

Отношение R на множестве Х называется связанным, если для любых элементов х и y из данного множества выполняется условие: если х и y различны, то либо х находится в отношении R с элементом y, либо элемент y находится в отношении R с элементом х. С помощью символов это определение можно записать так: x y xRy или yRx.

Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно одновременно обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Вопросы для самопроверки по теме 2.1:

1.Что такое множество?

2. Способы задания множества.

3. Перечислить операции над множествами.

4.Перечислить свойства операций над множествами.

Задания для самостоятельного решения по теме 2.1:

1.Найдите А В, если

1) А={3;4;5}, В={3;5;6};

2) А={0;1;7;8}, В={-7;0;6;9};

3) А={1;3;5;7}, В={2;4;6;8};

4) А={1;2;3}, В={-1;0;1;2;3}.

2. Найдите дополнения множества А до множества В, если

1) А={1;2;3}, В={0;1;2;3;5};

2) А={1;2;3}, В={ ;0;1;2;3;4};

3) А={0;1}, В={-1;0;1;-2}.

№3. Найдите множества А В, А В, А/В, А С, А С, В С, В С, если

А={-4;-3;-2;-1;0;1;2},

В={4;3;2;1;0;-1;-2},

С={-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4}.


Закрыть ... [X]

Разнообразие отношений объектов и их множеств. Отношения В какой одежде нужно быть на паспорте

Отношения между элементами и множествами Отношения между элементами и множествами Отношения между элементами и множествами Отношения между элементами и множествами Отношения между элементами и множествами Отношения между элементами и множествами Отношения между элементами и множествами Отношения между элементами и множествами